Question

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点(不与端点A、B重合)，过点F的反比例函数与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．

(1)若，求反比例函数的解析式；

(2)在(1)的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；

(3)AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF∶FA的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设F(x，y)，(x＞0，y＞0)． 　　则OC＝x，CF＝y　1分 　　∴．　2分 　　∴xy＝． 　　∴k＝．　3分 　　∴反比例函数解析式为y＝(x＞0)．4分 　　(2)该圆与y轴相离．　5分 　　理由：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G． 　　在△AOB中，OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　设OH＝m，则． 　　∴EH＝m，OE＝2m． 　　∴E坐标为(m，m)．　6分 　　∵E在反比例y＝图像上， 　　∴m＝． 　　∴m1＝，m2＝－(舍去)． 　　∴OE＝，EA＝，EG＝　7分 　　∵＜， 　　∴EA＜EG． 　　∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离．　8分 　　(3)存在．　9分 　　方法一：假设存在点F，使AE⊥FE．过点F作FC⊥OB于点C，过E点作EH⊥OB于点H． 　　设BF＝x． 　　∵△AOB是等边三角形， 　　∴AB＝OA＝OB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　∴BC＝FB·cos∠FBC＝ 　　FC＝FB·sin∠FBC＝ 　　∴AF＝4－x，OC＝OB－BC＝4－ 　　∵AE⊥FE 　　∴AE＝AF·cos∠A＝2－ 　　∴OE＝OA－AE＝＋2 　　∴OH＝OE·cos∠AOB＝， 　　EH＝OE·sin∠AOB＝ 　　∴E(，)，F(4－，)　11分 　　∵E、F都在双曲线y＝的图象上， 　　∴()()＝(4－) 　　解得x1＝4，x2＝．12分 　　当BF＝4时，AF＝0，不存在，舍去． 　　当BF＝时，AF＝，．　13分 　　方法二：假设存在点F，使AE⊥FE．过E点作EH⊥OB于H． 　　∵△AOB是等边三角形，设E(m，m)，则OE＝2m，AE＝4－2m． 　　∴AB＝OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝． 　　∵， 　　∴AF＝2AE＝8－4m，FB＝4m－4． 　　∴FC＝FB·sin∠FBC＝m－，BC＝FB·cos∠FBC＝2m－2． 　　∴OC＝6－2m 　　∴F(6－2m，m－)．　11分 　　∵E、F都在双曲线y＝上， 　　∴m·m＝(6－2m)(m－) 　　化简得：5m2－16m＋12＝0 　　解得：m1＝2，m2＝．　12分 　　当m＝2时，AF＝8－4m＝0，BF＝4，F与B重合，不合题意，舍去． 　　当m＝时，AF＝8－4m＝，BF＝4－＝． 　　∴．　13分