Question

如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数．

Answer 1

分析：根据题意可以知道∠BAE=∠AEB=45°，进而求得∠ACB=30°，即可得出AB、OA、AC、AE之间的关系，证明△AOE∽△AEC，求得∠COE的度数，即可得出∠BOE的度数．

解答：解：方法1：设AB=1，
∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，
∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=1，AE=

2

，AC=2，
∴

OA

AE

=

AE

AC

，
∵∠OAE=∠EAC，
∴△AOE∽△AEC，
∴∠AEO=∠ACE=30°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，
∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，
∴∠BOE=75°．
方法2：∵ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°
∵ABCD相交于O点，
∴AO=CO=BO=DO
∵AE平分∠BAD交BC于E点，
∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=15°，
∴∠BA0=60°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=60°，
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°
∴△AOB为等边三角形，即AB=OA=BO，
又∵∠ABC=90°，∠EAB=45°，
∴∠BEA=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=BA，
∵BE=BA而BA=BO，
∴BE=BO
即△OBE为等腰三角形
∵∠ABC=90°∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．
故∠BOE的度数75°．

点评：本题考查矩形的性质以及相似三角形的判断．合理利用题中所给条件，结合图形的性质，得出角度之间的关系即可．