Question

【题目】如图，在Rt△ABC中BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为_____．

Answer 1

【答案】4﹣4或4

【解析】

由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝2．

解：Rt△ABC中，BC＝AC＝4，

∴AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，

①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，

∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，

∵∠B＝45°，

∴A′C⊥AB，

∴BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，

∴x+x+2＝4，

∴x＝4﹣4，

∴AD＝4﹣4；

②如图2，当A′D∥AC，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，

∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，

∵∠A′DC＝∠ACD，

∴∠A′DC＝∠A′CD，

∴A′D＝A′C，

∴AD＝AC＝4，

综上所述：AD的长为：4﹣4或4．