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(2010•湘潭)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值.

【答案】分析:(1)由CD∥AB,得∠DCA=∠CAB,加上一组直角,即可证得所求的三角形相似.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理可求得AC的长,根据(1)题所得相似三角形的比例线段,即可求出DC的长.
(3)分析图象可知:四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得,分别求出两者的面积,即可得到y、t的函数关系式,进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值.
解答:解:(1)∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△BAC.

(2)Rt△ABC中,AC==8cm,
∵△ACD∽△BAC,∴=
,解得:DC=6.4cm.

(3)过点E作AB的垂线,垂足为G,
∵∠ACB=∠EGB=90°,∠B公共,
∴△ACB∽△EGB,
,即,故
y=S△ABC-S△BEF
=
=
故当t=时,y的最小值为19.
点评:此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识,能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答(3)题的关键.
练习册系列答案
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