Question

2．如图，等边△OAB和等边△BCD的顶点A、C分别在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，若OA=1，则点C的坐标为（$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 过A作AE⊥OB于E，过C作CF⊥BD于F，根据等边三角形的性质得到∠AOB=∠OAB=60°，OB=OA=1，解直角三角形得到OE=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得双曲线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4x}$，设等边三角形CBD的边长为2a，得到C（1+a，$\sqrt{3}$a），于是得到结论．

解答 解：过A作AE⊥OB于E，过C作CF⊥BD于F，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，OB=OA=1，
∴OE=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4x}$，
设等边三角形CBD的边长为2a，
∴BF=a，CF=$\sqrt{3}$a，
∴C（1+a，$\sqrt{3}$a），
∴（1+a）•$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，（负值舍去），
∴C（$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．