Question

如图所示，AB为⊙O的直径，D为

BC

中点，连接BC交AD于E，DG⊥AB于G．
（1）求证：BD²=AD•DE；
（2）如果tanA=

3

4

，DG=8，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，先由D为

BC

中点，根据圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理得出

BD

=

CD

，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形对应边成比例得出BD：AD=DE：BD，即为BD²=AD•DE；
（2）先在Rt△ADG中，由tanA=

3

4

，DG=8，求出AD=

40

3

，然后解Rt△ADB，求出BD=10，再根据（1）的结论BD²=AD•DE，即可求出DE的长．

解答：（1）证明：连接BD．
∵D为

BC

中点，
∴

BD

=

CD

，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE；

（2）解：∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADG中，∵tanA=

3

4

，∴

DG

AG

=

3

4

．
设DG=3k，则AG=4k，AD=5k，∴

DG

AD

=

3

5

．
又∵DG=8，∴AD=

40

3

．
在Rt△ADB中，tanA=

BD

AD

=

3

4

，∴BD=

3

4

AD=10．
∵BD²=AD•DE，
∴DE=

BD2

AD

=

102

40 3

=

15

2

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．