Question

5．已知△ABC的面积为1，把它的各边延长一倍得△A₁B₁C₁；再△A₁B₁C₁的各边延长两倍得△A₂B₂C₂；在△A₂B₂C₂的各边延长三倍得△A₃B₃C₃，△A₃B₃C₃的面积为4921．

Answer 1

分析 先根据根据等底的三角形高的比等于面积比求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．

解答 解：△ABC与△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高为1：2（BB₁=2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
如图，连接A₂C₁，

根据A₂B₁=2A₁B₁，得到：A₁B₁：A₂A₁=1：3，
因而若过点B₁，A₂作△A₁B₁C₁与△A₁A₂C₁的A₁C₁边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A₂B₁C₁的面积是△A₁B₁C₁的面积的2倍，
则△A₂B₁C₁的面积是14，
同理可以得到△A₂B₂C₁的面积是△A₂B₁C₁面积的2倍，是28，
则△A₂B₂B₁的面积是42，
同理△B₂C₂C₁和△A₂C₂A₁的面积都是42，
△A₂B₂C₂的面积是7×19=133，
同理△A₃B₃C₃的面积是7×19×37=4921，
故答案为：4921．

点评 考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键．