Question

5．如图1，已知点A（0，-4）．B（4，0），C（0，-1）．点D与点C关于直线AB对称．
（1）求直线AB的解析式和点D的坐标；
（2）点E在直线AB上，求|EQ-ED|的最大值和最小值及对应的点E的坐标；
（3）如图，点F坐标为（-1，0），点P为第三象限内的点，满足以O，A，P为顶点的三角形与△DAF相似，求点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）

Answer 1

分析 （1）由根据待定系数法可求得AB的解析式，由等腰直角三角形的性质和翻折的性质可证明△ADC为等腰直角三角形，从而可求得点D的坐标；
（2）由轴对称图形的性质可知EC=ED，由三角形的三边关系可知当点E与点A重合时，|EO-ED|有最大值，当EO=EC时，|EO-ED|有最小值；
（3）依据两边对应成立且夹角相等的两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：∵A（0，-4）、B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵将A（0，-4）、B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∵点C（0，-1）．
如图1所示：

∵A（0，-4）、B（4，0），
∴OB=OA，
∴∠OAB=45°，
∵点C与点D关于AB对称，
∴∠DAE=45°，CA=DA=3，
∴∠CAD=90°，
∴点D的纵坐标为（3，-4）；
（2）如图2所示：

∵点D与点C关于AB对称，
∴CE=DE，
∴|EO-ED|=|EO-ED|=|EO-EC|，
∴当点O、C、E在一条直线上时，|EO-EC|有最大值，
∴当点E的坐标为（0，-4）时，|EO-EC|的最大值为1，即|EO-ED|的最大值为1，
∵EO=EC时，|EO-ED|=|EO-EC|=0，
∴点E在OC的垂直平分线上，
∴点E的纵坐标为-$\frac{1}{2}$，
∵将y=-$\frac{1}{2}$代入y=x-4得：x=$\frac{7}{2}$，
∴E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴点E的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，|EO-ED|的最小值为0；
（3）如图3所示：过点P作PG⊥AD，垂足为G．

当∠PAO=∠FAD且$\frac{AD}{OA}$=$\frac{FA}{PA}$时，△OAP∽△DAF，
∵∠PAO=∠FAD，
∴∠FAO=∠PAG．
∴$\frac{PG}{AG}$=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{4}$，
设PG=a，则AG=4a．则由勾股定理可知：AP=$\sqrt{P{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∵OF=1，OA=4，
∴AF=$\sqrt{17}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}a}$，
解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴PG=$\frac{4}{3}$，AG=$\frac{16}{3}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{16}{3}$，-$\frac{16}{3}$），
如图4，过P作PH⊥AO于H，

当∠APO=∠FAD且$\frac{OP}{AF}=\frac{AP}{AD}$时，△OPA∽△FAD，
∴∠PAO=∠D=45°，
∴∠PAH=45°，
设AH=PH=a，则AP=$\sqrt{2}$a，AF=$\sqrt{17}$，
∵DF=$\sqrt{（1+3）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DF}{AO}=\frac{AD}{AP}$，或$\frac{DF}{AO}=\frac{AF}{AP}$，
即$\frac{4\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{\sqrt{2}a}$，或$\frac{4\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}a}$，
∴a=$\frac{3}{2}$，或a=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；（-$\frac{\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-8}{2}$）；
当∠APO=∠FAD且$\frac{OP}{AD}=\frac{AP}{AF}$时，△OPA∽△DAF，
∴∠POA=45°，
同理P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）
过P作PH⊥BF于H，过A作AM⊥PH于M，∵△PAO∽△DAF，∴$\frac{PA}{OA}=\frac{AD}{AF}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{PA}{3}$，∴PA=$\frac{12}{17}\sqrt{17}$，∵$\frac{PM}{1}=\frac{AM}{4}=\frac{\frac{12\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{17}}$，∴PM=$\frac{12}{17}$，AM=$\frac{48}{17}$，∴PA=$\frac{80}{17}$，
∴P（-$\frac{48}{17}，-\frac{80}{17}$）．
综上所述，点P的坐标为（-$\frac{\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-8}{2}$）或（-$\frac{16}{3}$，-$\frac{16}{3}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{48}{17}，-\frac{80}{17}$）．时，以O，A，P为顶点的三角形与△DAF相似．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、非负数的性质、轴对称图形的性质、三角形的三边关系、相似三角形的判定，用含a的式子表示AP的长是解题的关键．