Question

题甲：关于的一元二次方程x²+2x+k+1=0的两实数根分别是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜-1且k为整数，求k的值．
题乙：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
求证：（1）BD=DC；   （2）DE与⊙O相切．
我选做的是______题．

Answer 1

【答案】分析：题甲（1）求出△=2²-4×1×（k+1）=-4k≥0，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，推出-2-（k+1）＜-1，求出k的范围，即可求出k；
题乙（1）连接AD，得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质推出BD=DC即可；
（2）连接OD，求出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，即可得出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
解答：题甲解：（1）△=2²-4×1×（k+1）=-4k，
∵方程有两个实数根，
∴△=-4k≥0，
∴k≤0；
（2）根据根与系数的关系得：x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，
∵x₁+x₂-x₁x₂＜-1
∴-2-（k+1）＜-1，
∴k＞-2，
又∵k≤0，且k为整数，
∴k为-1或0．

题乙：证明：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）连接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式，切线的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．