Question

16．如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE=AB，∠BAC=∠D，AD=AC．
（1）求证：四边形AECB是等腰梯形；
（2）点F是AB延长线上一点，且BC=CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AD=AC，证得∠D=∠ACD，由∠BAC=∠D，推出∠ACD=∠BAC，由平行线的判定推出AB∥DE，根据三角形的判定证得△ADE≌△CAB，即可证得AE=BC，由等腰梯形的判定即可证得结论；
（2）通过全等三角形的性质得到AF=CE，推出四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∵∠BAC=∠D，
∴∠ACD=BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=AB}\\{∠D=∠BAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE=BC，
∴四边形AECB是等腰梯形；

（2）由（1）得AE=BC，∠AEC=∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵BC=CF，
∴AE=CF，∠FBC=∠BFC，
∴∠BFC=∠AEC，
在△AEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFC}\\{∠ACE=∠FAC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴?AECF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．