Question

12．如图，已知过坐标原点的抛物线经过A（x₁，0），B（x₂，3）两点，且x₁、x₂是方程x²+5x+6=0两根（x₁＞x₂），抛物线顶点为C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）D是线段BC上一动点，过点D作DE平行于y轴交抛物线于点E，当D运动到何处时，四边形BECO的面积最大？求出此时点D的坐标及四边形BECO面积的最大值；
（3）P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²+5x+6=0求出x₁、x₂的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（22）设抛物线的对称轴与直线OB交于G，直线DE与OB交于F，求得直线OB的解析式为y=-x，得到G（-1，1），设D（m，n），得到E（m，m²+2m），F（m，-m），于是得到结论；
（3）设P（m，m²+2m），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程x²+5x+6=0的两根（x₁＞x₂），
解得原方程的两根分别是：x₁=-2，x₂=-3，
∴A（-2，0），B（-3，3），
设抛物线的解析式为，y=ax²+bx+c，则$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a-2b=0}\\{9a-3b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=x²+2x．
（2）设抛物线的对称轴与直线OB交于G，直线DE与OB交于F，
∵y=x²+2x，
∴对称轴为：x=-1，
∵B（-3，3），
∴直线OB的解析式为：y=-x；
∴G（-1，1），
设D（m，n），
∴E（m，m²+2m），F（m，-m），
∵抛物线顶点C（-1，-1），
∴四边形BECO的面积=S_△BEF+S_{四边形CEFG}+S_△COG=$\frac{1}{2}$（-m-m²-2m）×（-m-3）$+\frac{1}{2}$（-m-m²-2m+2）×（-m-1）+$\frac{1}{2}×$2×1=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∴当m=-2时，四边形BECO面积的最大值是4，
∵直线BC的解析式为：y=-2x-3，
∴此时D（-2，1）；
（3）假设存在，设P（m，m²+2m），
∵B（-3，3），C（-1，-1），
∴OB²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△OBC是直角三角形，∠COB=90°，$\frac{OB}{OC}$=3，
∵以P、M、O为顶点的三角形和△BCO相似，
又∵∠COB=∠PMO=90°，
∴$\frac{PM}{OM}$=$\frac{OB}{OC}$=3，或$\frac{PM}{OM}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴|$\frac{{m}^{2}+2m}{m}$|=3，|$\frac{{m}^{2}+2m}{m}$|=$\frac{1}{3}$，
解得：m=1或-5或-$\frac{5}{3}$或-$\frac{7}{3}$，
∴存在P点，P的坐标是（1，3），（-5，15），（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{9}$），（-$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{9}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．