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【题目】等腰中,,作的外接圆⊙O.

1)如图1,点上一点(不与AB重合),连接ADCDAO,记的交点为.

①设,若,请用含的式子表示

②当时,若,求的长;

2)如图2,点上一点(不与BC重合),当BC=ABAP=8时,设,求为何值时,有最大值?并请直接写出此时⊙O的半径.

【答案】1)①;②;(2)PB=5时,S有最大值,此时⊙O的半径是.

【解析】

1)①连接BOCO,利用SSS可证明ABOACO,可得∠BAO=CAO=y,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可用y表示出∠ABC,由圆周角定理可得∠DCB=DAB=x,根据即可得答案;

②过点于点,根据垂径定理可得AF的长,利用勾股定理可求出OF的长,由(1)可得,由ABCD可得n=90°,即可证明y=x,根据ABCDOFAC可证明AEDAFO,设DE=a,根据相似三角形的性质可,由∠D=B,∠AED=CEB=90°可证明AEDCEB,设,根据相似三角形的性质可得,根据线段的和差关系和勾股定理列方程组可求出ab的值,根据AEDAFO即可求出AD的值;

2)延长,使得,过点BBDAPDBECP,交CP延长线于E,连接OA,作OFABF,根据BC=AB可得三角形ABC是等边三角形,根据圆周角定理可得∠APM=60°,即可证明APM是等边三角形,利用角的和差关系可得∠BAP=CAM,利用SAS可证明BAPCPM,可得BP=CM,即可得出PB+PC=AP,设,则,利用∠APB和∠BPE的正弦可用x表示出BDBE的长,根据可得Sx的关系式,根据二次函数的性质即可求出S取最大值时x的值,利用∠BPA的余弦及勾股定理可求出AB的长,根据等边三角形的性质及垂径定理求出OA的长即可得答案.

1)①连接BOCO

,且为公共边,

.

②过点于点

AEDAFO

=,即

,则

AEDCEB

,即

,则

解得:

a>0b>0

,即DE=

AEDAFO

AD==3=.

2)延长,使得,过点BBDAPDBECP,交CP延长线于E,连接OA,作OFABF

BC=ABAB=AC

是等边三角形,

是等边三角形,

∵∠BAP+PAC=CAM+PAC=60°

BAPCAM中,

,则

∵∠APB=ACB=60°,∠APM=60°

∴∠BPE=60°

BE=PB·sin60°=PD=PB·sin60°=

S=PC·BE+×AP·BD=

∴当时,即PB=5时,S有最大值,

BD==PD=PB·cos60°=

AD=AP-PD=

AB==7

ABC是等边三角形,OABC的外接圆圆心,

∴∠OAF=30°AF=AB=

OA==.

∴此时的半径是.

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