Question

（2013•桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；
（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线；
（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，
∴点D在⊙O上；

（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：AB=10，
设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，
∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴

OD

AC

=

BO

BA

=

BD

BC

，即

x

6

=

10-x

10

，
解得：x=

15

4

，
∴OD=

15

4

，BE=10-2x=10-

15

2

=

5

2

，
∵

OD

AC

=

BD

BC

，即

15 4

6

=

BD

8

，
∴BD=5，
过E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD，
∴

BE

BO

=

EH

OD

，即

5 2

25 4

=

EH

15 4

，
∴EH=

3

2

，
∴S_△BDE=

1

2

BD•EH=

15

4

．

点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．