Question

19、如图，AD为边BC边上中线，E为AD的中点，连BE交AC于F，则AF：AC=

1：3

（1）若AE：ED=1：2，则AF：AC=

1：5

；
（2）若AE：ED=1：3，则AF：AC=

1：10

，并证明．
（3）若AE：ED=1：n，猜想AF：AC=

1：（n²+1）

．

Answer 1

分析：作CF中点G，连接DG，由于D、G是BC、CF中点，所以DG是△CBF的中位线，在△ADG中利用三角形中位线定理可求AF=FG，同理在△CBF中，也有CG=FG，那么有AF=$frac{1}{2}$CF．

解答：解：作CF的中点G，连接DG，
则FG=GC
又∵BD=DC
∴DG∥BF
∵AE=ED
∴AF=FG
∴AF：FC=1：2．
∴AF：FC=1：3

（1）若AE：ED=1：2，则AF：AC=1：5；
（2）若AE：ED=1：3，则AF：AC=1：10．
（3）若AE：ED=1：n，猜想AF：AC=1：（n²+1）．
故答案为：1：3，1：5，1：10，1：（n²+1）．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理．构造中位线是常用的辅助线方法．本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边；及一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其他直线上截得的线段也相等．