Question

如图，正方形ABCD边长为12，E为CD上一点，沿AE将△ADE折叠得△AEF，延长EF交BC于G，连接AG、CF，BG=6，下列说法正确的有
①△ABG≌△AFG；②DE=4；③AG∥CF；④．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面积比较即可．
解答：①正确．
因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②正确．
因为：EF=DE，设DE=FE=x，则CG=6，EC=12-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12-x）²+36=（x+6）²，
解得x=4．
∴DE=4．
③正确．
因为CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正确．
过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，EF=DE=4，GF=6，
∴EG=10，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为：==，
∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=×6×8-×8×（×6）=．
综上可得①②③④正确，共4个．
故选D．
点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．