Question

（2013•朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），当cosα=

3

5

，且旋转后点P的对应点P'恰好落在x轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）分别利用P点在y轴右侧和左侧，设P（x，y），利用cosα=

3

5

，表示出各边长度，进而分别求出P点坐标即可．

解答：解：（1）根据题意得

4a-2b+4=0 36a+6b+4=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

．
所以抛物线的解析式为y=-

1

3

x2+

4

3

x+4．

（2）如图1，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．
设P（x，y），则CQ=x，PQ=4-y．
由题意可知：CQ'=CQ=x，P'Q'=PQ=4-y，∠CQP=∠CQ'P'=90°．
∴∠QCQ'+∠CQ'E=∠P'Q'F+∠CQ'E=90°．
∴∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴

4

5

x+

3

5

(4-y)=4．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

，x2=-2

5

（舍去）．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)．
如图2，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．
设P（x，y），则CQ=-x，PQ=4-y．
可得∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=-

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴-

4

5

x+4=

3

5

(4-y)．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

（舍去），x2=-2

5

．
∴P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)或P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及锐角三角函数的关系和旋转的性质等知识，利用分类讨论的思想得出是解题关键．