Question

已知⊙O内接正N边形边长为a，⊙O半径为R，则用a，R表示此圆外切N边形边长为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：几何图形问题

分析：首先得出利用正多边形的性质得出CD=2R•sin

180°

N

，进而得出BO的长，再利用BD=BO•sin

180°

N

求出即可．

解答：解：如图：圆内接正n边形和外切正n边形每条边所对的圆心角均为：

360°

N

，
即，图中∠AOB=∠COD=

360°

N

，
则，∠AOD=∠DOB=∠BPC=

180°

N

，
而在内接正n边形中，

1

2

CD=R•sin（

180°

N

）
所以，CD=2R•sin

180°

N

即，a=2R•sin

180°

N

，
所以，sin

180°

N

=

a

2R

，
那么，cos

180°

N

=

1-sin2 180° n

=

1-( a 2R )2

，
所以在Rt△BOD中，BO=

DO

cos 180° N

=

R

1-( a 2R )2

，
则，在Rt△BOD中，BD=BO•sin

180°

N

=

R

1-( a 2R )2

×

a

2R

=

Ra

(4R2-a2)

=

Ra 4R2-a2

4R2-a2

，
所以，AB=2BD=2

Ra 4R2-a2

4R2-a2

，
故答案为：2

Ra 4R2-a2

4R2-a2

．

点评：此题主要考查了正多边形和圆，熟练利用正多边形性质得出BO的长是解题关键．