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1.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连结AE,交BC于点F,连结AC、BE.
(1)求证:AC=BE.
(2)若∠AFC=2∠D,求证:四边形ABEC是矩形.

分析 (1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,然后根据CE=DC,得到AB=EC,AB∥EC,利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可;
(2)由(1)得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形,通过角的关系得出FA=FE=FB=FC,AE=BC,得证.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵CE=DC,
∴AB=EC,AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形;

(2)证明:∵由(1)知,四边形ABEC是平行四边形,
∴FA=FE,FB=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠AFC=2∠ADC,
∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF,
∴∠ABC=∠BAF,
∴FA=FB,
∴FA=FE=FB=FC,
∴AE=BC,
∴四边形ABEC是矩形.

点评 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定,关键是先由平行四边形的性质证三角形全等,然后推出平行四边形通过角的关系证矩形.

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