Question

10．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，已知AB⊥CD于点E，OF⊥AB于点F，已知AC=4$\sqrt{5}$，
BD=6$\sqrt{5}$，EF=1，则OE的长是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\sqrt{17}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先根据图1求直径AP=2$\sqrt{65}$，则半径的长为$\sqrt{65}$；再利用图2，作辅助线，构建矩形和直角三角形，利用勾股定理求DG的长，设OF=x，AF=a，分别表示出AE、BE、DE、CE的长，根据△AEC∽△DEB，列比例式得方程组，解出即可求OF的长，最后利用勾股定理求OE的长．

解答 解：如图1，作直径AP，连接CP、BP，AC，
∵AP是直径，
∴∠ACP=∠ABP=90°，
∴PB⊥AB，
又∵AB⊥CD，
∴BP∥CD，
∴$\widehat{CP}=\widehat{BD}$，
∴CP=BD，
根据勾股定理，得：AC²+BD²=AC²+CP²=AP²，
∴AP=$\sqrt{A{C}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
如图2，过O作OG⊥CD于G，连接OD，则DG=CG，
设OF=x，AF=a，则AE=a+1，BE=a-1，
∵∠OFE=∠AED=∠OGE=90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OG=EF=1，EG=OF=x，
在Rt△OGD中，OD=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{65}$=$\sqrt{65}$，
由勾股定理得：DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{65}）^{2}-{1}^{2}}$=8，
∴DG=CG=8，
∴DE=8+x，CE=8-x，
∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，
∴△AEC∽△DEB，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{EC}{EB}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}$=$\frac{a+1}{8+x}$=$\frac{8-x}{a-1}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{16+2x=3a+3}\\{2a-2=24-3x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{a=7}\end{array}\right.$，
∴OF=4，
在Rt△OEF中，EF=1，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
故选C．

点评 本题是圆的综合题，考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；明确各定理的内容并能灵活应用是关键，另外本题还通过辅助线，构建直径，利用直径所对的圆周角为直角建立直角三角形，利用勾股定理和相似三角形列等式，并与方程组结合，解决问题．