在平面直角坐标系xOy中.一块含60°角的三角板作如图1摆放.斜边AB在x轴上.直角顶点C在y轴正半轴上.已知点A.抛物线y=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x2+bx+c经过点A.B.C．(1)请直接写出点B.C的坐标:B,(2)求经过A.B.C三点的抛物线的函数表达式,(3)如图2现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°.∠DEF=60°).把顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图1摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0），抛物线y=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²+bx+c经过点A、B、C．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，$\sqrt{3}$）；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的函数表达式；
（3）如图2现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，
（2）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；
②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF∥AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．

解答解：（1）∵点A（-1，0），
∴OA=1，
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
OB=OC•cot30°=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
所以，点B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），
故答案为3，0，0，$\sqrt{3}$．
（2）把B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$）代入y=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²+bx+c，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{\sqrt{3}}{3}×9+3b+c}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以，抛物线的解析式为y=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（3）①∵△OCE∽△OBC，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
即$\frac{OE}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2时，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下：
抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=1，
所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，
∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（-1，0），C（0，$\sqrt{3}$）可得直线AC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∵点E（1，0），
∴直线EF的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（2，$\sqrt{3}$），或（-3，-4$\sqrt{3}$）（舍去），
EM=$\sqrt{（2-1）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$=2，
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，
当PE=EM时，PE=2，
所以，点P的坐标为（1，2）或（1，-2），
当PE=PM时，∵∠FEB=60°，
∴∠PEF=90°-60°=30°，
PE=$\frac{1}{2}$EM÷cos30°=$\frac{1}{2}$×2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以，点P的坐标为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
所以，点P的坐标为（1，2$\sqrt{3}$），
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，-2）或（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（1，2$\sqrt{3}$），使△PEM是等腰三角形．

点评本题是对二次函数的综合考查，主要涉及直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，等腰三角形的性质，（2）②要根据等腰三角形腰的不同进行分情况讨论．

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（1）①求证：△ACD∽△BAC；②求DC的长；
（2）当点Q在边BC上运动，求t为何值时，△PBQ的面积为$\frac{64}{5}$cm²；
（3）如图2，当点Q在边CA上运动，求t为何值时，PQ∥BC．