Question

【题目】如图，已知抛物线(a≠0)的对称轴为直线，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与轴交于点B．

（1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；

（3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3，；（2）M(﹣1，2)；（3）P的坐标为(-1，-2)或(-1，4)或(-1，)或(-1，)．

【解析】

（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

解：（1）由题意得：

解得：，∴抛物线的解析式为：

由题意得B(-3，0)

把B(-3，0)，C(0，3)代入得：

解得：，∴直线的解析式为

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

代入直线得，∴M(﹣1，2)，

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；

（3）设P(-1，t)，B(-3，0)，C(0，3)，∴，，

若点B为直角顶点时，则

即：

解得：

若点C为直角顶点时，则

即：

解得：

若P为直角顶点时，则

即：

解得：

综上所述：P的坐标为(-1，-2)或(-1，4)或(-1，)或(-1，)．