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10.如图,直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点D为三角形内部一点,连接AD,BD.CD,AD平分∠BAC,∠BDC=135°,AD=2$\sqrt{2}$,BD=$\sqrt{2}$CD,则BC的长为(  )
A.6B.8C.10D.12

分析 根据题意可以作出合适的辅助线,然后根据等腰三角形的性质和三角形的相似可以求得AB和AC的长,再根据勾股定理即可求得BC的长.

解答 解:过点D作EF⊥AD于点D,交AB于点E,交AC于点F,
∵∠BAC=90°,AD平分∠BAC,
∴∠AED=∠AFD=∠EAD=∠FAD=45°,
∴AD=DE=DF,
∵AD=2$\sqrt{2}$,
∴DE=DF=2$\sqrt{2}$,AE=AF=4,
∵∠AED=∠AFD=45°,∠BDC=135°,
∴∠EBD+∠EDB=45°,∠EDB+∠FDC=45°,∠FDC+∠FCD=45°,
∴∠EBD=∠FDC,∠EDB=∠FCD,
∴△EDB∽△FCD,
∴$\frac{ED}{FC}=\frac{EB}{FD}=\frac{BD}{DC}$,
∵BD=$\sqrt{2}$CD,ED=FD=2$\sqrt{2}$,
∴$\frac{2\sqrt{2}}{FC}=\frac{EB}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,
解得,FC=2,EB=4,
∴AB=AE+BE=8,AC=AF+FC=6,
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$,
故选C.

点评 本题考查勾股定理,解答本题的关键是明确题意,求出边AB和AC的长,利用勾股定理和三角形的相似解答.

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