Question

求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值及此时x的值．

Answer 1

考点：绝对值

专题：

分析：分6个区域：（1）当x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x；（2）当1＜x≤2时，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x；（3）当2＜x≤3时，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x；（4）当3＜x≤4时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x；（5）当4＜x≤5时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5；（6）当x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55；比较最小值，即可求得答案．

解答：解：（1）当x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x，
则x=1时，有最小值40；
（2）当1＜x≤2时，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x，
则x=2时，有最小值27；
（3）当2＜x≤3时，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x，
则x=3时，有最小值18；
（4）当3＜x≤4时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x，
则x=4时，有最小值15；
（5）当4＜x≤5时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5，
则y没有最小值；
（6）当x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55，
则y没有最小值；
故当x=4时，|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值为15．

点评：此题考查了绝对值的最值问题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．