Question

8．如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF．

Answer 1

分析 （1）连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；
（2）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证．

解答 解：（1）连结OB，
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，∠OBC=30°，
∴∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）连结MB，则∠CMB=180°-∠A=120°
∵∠CBF=60°+60°=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCM=∠FCB
∴△CMB∽△CBF
∴$\frac{CM}{CB}=\frac{CB}{CF}$，即CB²=CM•CF，
∵AC=CB
∴AC²=CM•CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．