Question

13．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b²＜16a；④$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$；⑤b＞c．
其中正确结论的序号是①③④⑤．

Answer 1

分析 根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出④的正误．

解答 解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（-1，0），
∴当x=-1时，y=（-1）²a+b×（-1）+c=0，
∴a-b+c=0，即a=b-c，c=b-a，
∵对称轴为直线x=1
∴-$\frac{b}{2a}$=1，即b=-2a，
∴c=b-a=（-2a）-a=-3a，
∴4ac-b²=4•a•（-3a）-（-2a）²=-16a²＜0
∵16a＞0
∴4ac-b²＜16a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，
∴-2＜c＜-1
∴-2＜-3a＜-1，
∴$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故答案为①③④⑤．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．