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如图,已知点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,在下列4个命题中:
①四边形MNPQ是梯形;
②当四边形ABCD的对角线相等时,四边形MNPQ是菱形;
③当四边形ABCD的对角线垂直时,四边形MNPQ是矩形;
④当四边形ABCD的对角线相等且垂直时,四边形MNPQ是正方形.
正确的有


  1. A.
    1个
  2. B.
    2个
  3. C.
    3个
  4. D.
    4个
C
分析:连接AC、BD,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AC,MN=AC,PQ∥AC,PQ=AC,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形MNPQ是平行四边形,再根据对角线的情况对②③④小题进行判定即可得解.
解答:解:如图,连接AC、BD,
∵点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,
∴MN∥AC,MN=AC,PQ∥AC,PQ=AC,
∴MN∥PQ,MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形,故①小题错误;
当四边形ABCD的对角线相等时,同理可得NP=MQ=BD,
所以,MN=NP=PQ=MQ,
所以,四边形MNPQ是菱形,故②小题正确;
当四边形ABCD的对角线垂直时,可以证明∠M=90°,
所以,四边形MNPQ是矩形,故③小题正确;
当四边形ABCD的对角线相等且垂直时,四边形MNPQ既是菱形也是矩形,所以是正方形,故④小题正确,
综上所述,正确的是②③④共3个.
故选C.
点评:本题考查了三角形的中位线定理,菱形的判定,矩形的判定以及正方形的判定,连接对角线,利用三角形的中位线定理得到四边形MNPQ的边的关系是解题的关键.
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6x
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2
B、
3
-
3
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3
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23
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10
10
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