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    已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M．
    （1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP：PB的值和∠AMC的度数；
    （2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α＜60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论．
    （3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数．

    【答案】分析：（1）设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值，从而求得两线段的比值；
    （2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
    （3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
    解答：解：（1）设AB=2a，AP的长是x，则BP=2a-x，
    ∴S△APC+S△PBD=x•x+（2a-x）•（2a-x）
    =x2-ax+a2，
    当x=-=-=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，
    ∴AP：PB=a：a=1
    当AP=BP时，
    AM=AC且AM平分∠CAB，
    此时∠MAB=∠MBA=30°，
    ∠AMC=2∠MAB=2×30°=60°，
    故答案为：1，60°；
                         
    （2）不变化．
    证明：如图，点E在AP的延长线上，
    ∠BPE=α＜60°．（只要画出了符合题意的图形即可得分） 
    ∵∠BPC=∠CPD+60°，
    ∠DPA=∠CPD+60°，
    ∴∠BPC=∠DPA．
    在△BPC和△DPA中，
    又∵BP=DP，PC=PA，
    ∴△BPC≌△DPA．…（4分）
    ∴∠BCP=∠DAP．
    ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
    =120°-∠BCP-∠MAC
    =120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
    =120°-∠PAC
    =60°，且与α的大小无关．…（6分）

    （3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
    理由：∵△APC是等边三角形，
    ∴PA=PC，∠APC=60°，
    ∵△BDP是等边三角形，
    ∴PB=PD，∠BPD=60°，
    ∴∠APC=∠BPD，
    ∴∠APD=∠CPB，
    ∴△APD≌△CPB，
    ∴∠PAD=∠PCB，
    ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
    ∴∠AQC=180°-120°=60°．
    点评：本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．
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