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    19．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论：
    ①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
    ②当m≠0时，函数图象过定点；
    ③当m＜0时，函数在x＞$\frac{1}{4}$时，y随x的增大而减小；
    ④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$．
    其中正确的结论有（　　）
    A．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④

    分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
    ②根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答；
    ③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
    ④令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题．

    解答 解：①当m=-3时，特征数为[-6，4，2]，
    -$\frac{b}{2a}$=-$\frac{4}{-12}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-6）×2-16}{-24}$=$\frac{8}{3}$，
    函数图象的顶点坐标是：（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$），故①正确；
    ②当x=1时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点，故②结论正确．
    ③当m＜0时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：$\frac{m-1}{4m}$，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即对称轴在x=$\frac{1}{4}$右边，因此函数在x=$\frac{1}{4}$右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
    ④当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=$\frac{（m-1）±（3m+1）}{4m}$，x1=1，x2=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
    |x2-x1|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$，故④正确．
    故选：B．

    点评 此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．

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