Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）若KG²=KD•GE，求证：AC∥EF；
（2）在（1）的条件下，若sinE=

3

5

，AK=2

5

，求FG的长．

Answer 1

分析：（1）如答图1所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（2）如图2所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

解答：解：（1）连接GD，如图1所示．
∵KG²=KD•GE，即

KG

KD

=

GE

KG

，
∴

KG

GE

=

KD

KG

，
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；

（2）连接OG，OC，如图2所示．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∵sinE=sin∠ACH=

3

5

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，解得t=

2

．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25

6

t=

25 2

6

．
∵EF为切线，
∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

25 2

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

=

25 2 6

4 3

=

25 2

8

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．