Question

8．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．
（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；
（2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S_△DPE：S_△BPE=13：32，S_△BDE：S_△BCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，
∴CD=$\sqrt{10}$；

（3）解：延长EF交⊙O于M，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{10}$，AB=10，
∴BD=3$\sqrt{10}$，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BM}$，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BE}{BP}$，
∴BP=$\frac{32\sqrt{10}}{15}$，
∴DP=BD-BP=$\frac{13\sqrt{10}}{15}$，
∴S_△DPE：S_△BPE=DP：BP=13：32，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=15，S_△BDE：S_△BCD=BE：BC=4：5，
∴S_△BDE=12，
∴S_△DPE=$\frac{52}{15}$．

点评 考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．