Question

1．如图，如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点F为BC边上的一点，将△ABF沿AF翻折得△AEF，且点E恰好在对角线AC上．以EF、EC为边做平行四边形EFGC，并将其沿线段CA以每秒1cm的速度运动，记运动中的平行四边形为E′F′G′C′，运动时间为t，当点C′到点A时停止运动．
（1）tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，S_矩形EFGC=12cm²；（直接填空）
（2）记运动过程中平行四边形E′F′G′C′与△AFC的重叠部分为S，求出S与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；
（3）设运动过程中线段AF与E′F′交与点H，AH=x，是否存在这样的x，使得△HFC′为直角三角形？若有，直接写出x的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和勾股定理得出AC=10cm，由翻折变换的性质得出△AEF≌△ABF，得出AE=AB=6cm，EF=BF，∠AEF=∠B=90°，CE=AC-AE=4cm，设BF=EF=xcm，则CF=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程得出BF=EF=3cm，即可得出tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，S_矩形EFGC=EF×CE=12（cm²）；
（2）分两种情况：①当0≤t＜4时，证出△AHE′∽△AFE，得出比例式求出HE′=3-$\frac{1}{2}$t，同理：C′M=$\frac{3}{4}$t，则S=△AFC的面积-△AHE′的面积-△CMC′的面积，即可得出结果；
②当4≤t≤6时，同①得出HE′=3-$\frac{1}{2}$t，C′M=5-$\frac{1}{2}$t，得出S=16-2t；
（3）由勾股定理得出AF=3$\sqrt{5}$，由平行线得出比例式求出HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
由翻折变换的性质得：△AEF≌△ABF，
∴AE=AB=6cm，EF=BF，∠AEF=∠B=90°，
∴∠CEF=90°，
∴CE=AC-AE=4cm，
设BF=EF=xcm，则CF=（8-x）cm，
由勾股定理得：EF²+CE²=CF²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴BF=EF=3cm，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_矩形EFGC=EF×CE=3×4=12（cm²）；
故答案为：$\frac{1}{2}$，12cm²；
（2）分两种情况：
①当0≤t＜4时，如图1所示：
∵HE′∥EF，
∴△AHE′∽△AFE，
∴$\frac{HE′}{EF}=\frac{AE′}{AE}$，
即$\frac{HE′}{3}=\frac{6-t}{6}$，
∴HE′=3-$\frac{1}{2}$t，
同理：C′M=$\frac{3}{4}$t，
∴S=△AFC的面积-△AHE′的面积-△CMC′的面积=$\frac{1}{2}$×10×3-$\frac{1}{2}$×（6-t）×（3-$\frac{1}{2}$t）-$\frac{1}{2}$×t×$\frac{3}{4}$t=-$\frac{5}{8}$t²+3t+6，
即S与t之间的函数关系式为S=-$\frac{5}{8}$t²+3t+6（0≤t＜4）；
②当4≤t≤6时，如图2所示：
同①得：HE′=3-$\frac{1}{2}$t，C′M=5-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$t+5-$\frac{1}{2}$t）×4=16-2t，
即S与t之间的函数关系式为S=-2t+16（4≤t≤6）；
（3）存在，t=$\frac{5}{2}$，理由如下：
由勾股定理得：AF=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵HE′∥EF，
∴$\frac{HF}{AF}=\frac{EE′}{AE}$，
即$\frac{HF}{3\sqrt{5}}=\frac{t}{6}$，即HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
∵FC′²=3²+（4-t）²，HC′²=4²+（3-$\frac{1}{2}$t）²，
若△HFC′为直角三角形，
则∠HFC′=90°，
∴HF²+FC′²=HC′²，
即（$\frac{\sqrt{5}}{2}$t）²+3²+（4-t）²=4²+（3-$\frac{1}{2}$t）²，
解得：t=$\frac{5}{2}$，或t=0（不合题意，舍去），
∴△HFC′为直角三角形时，t=$\frac{5}{2}$．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形和梯形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．