Question

13．如图，E和F分别是边AB和AC中点，D是BC边上一点，若∠AED=∠AFD，请问四边形AEDF是平行四边形吗？为什么？

Answer 1

分析 分情况讨论：①当D是BC的中点时，由已知条件得出DF是△ABC的中位线，证出DF∥AE，DF=AE，即可得出四边形AEDF是平行四边形；
②当D从BC的中点向BC方向运动时，∠AED≠∠AFD，得出四边形AEDF不是平行四边形；
③当BD＜$\frac{1}{2}$BC时，同理可证：∠AED≠∠AFD，得出四边形AEDF不是平行四边形．

解答 解：四边形AEDF是平行四边形；理由如下：分情况讨论：
①当D是BC的中点时，
∵E和F分别是边AB和AC中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB=AE，
即DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEDF是平行四边形；
②当D从BC的中点向BC方向运动时，
∠AED变小，∠AFD变大，∠AED≠∠AFD，
∴四边形AEDF不是平行四边形；
③当BD＜$\frac{1}{2}$BC时，
同理可证：∠AED≠∠AFD，
∴四边形AEDF不是平行四边形；
综上所述：当∠AED=∠AFD时，一定属于第①种情况，即四边形AEDF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，由三角形中位线定理证出平行四边形是解决问题的关键．