Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．
（1）求证：∠ADE=∠CDF；
（2）如果∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C，DC∥AB，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，
∴∠ADE=∠CDF．

（2）证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，
∴∠DAP=∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP，
∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，
∴△DAM≌△DPN，
∴DM=DN，
∵∠B=120°，
∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△DMN是等边三角形．
分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠DAB=∠C，DC∥AB，根据三角形的内角和定理和垂线即可求出答案；
（2）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，根据角平分线得出∠DAP=∠BAP，推出DA=DP，根据全等三角形的判定证△DAM≌△DPN，推出DN=DM，求出∠MDN60度，即可得到答案．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的内角和定理，垂线，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．