Question

如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠B=36°，对角线BD、AC相交于点O，∠BAC的平分线AE交BC边于点E．试解答下列几个问题：
（1）不用计算器求：①AE长度的准确值，②∠ABO正弦的准确值；
（2）在对角线BD上取一点M．求BM＜AB的概率（如果计算的概率值为无理数，则将计算结果精确到百分位）

Answer 1

分析：（1）①用三角形相似时的性质计算AE的长度，②根据求出的AE长度和菱形对角线的性质求出∠ABO正弦的准确值；
（2）BM＜AB的概率为

AB

BD

，根据（1）的答案可以容易求解．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=1，
又∵∠EAC=

1

2

∠BAC=36°，∠AEC=∠ACE=72°
∴AE=AC．
设AE=AC=x，则AE=BE=x，△ABC∽△EAC
∴

AC

EC

=

AB

AE

即

x

1-x

=

1

x

整理得：x²-x-1=0
解得x₁=

5 -1

2

x₂=-

5 +1

2

（不合题意舍去）

（2）∵AE=AC，∴AC=

5 -1

2

又∵BO⊥AC  AB=CB
∴AO=

1

2

AC=

5 -1

4

∴sin∠ABO=

5 -1

4

（3）设在对角线BD上取一点M，得BM＜AB这一事件的概率为P（BM＜AB）．
在BD上截取BM′=AB．于是P（BM＜AB）=P（BM＜BM′）=

2 5+  5

≈0.53．

点评：本题综合考查了图形的性质和概率的转化计算问题，相对比较难的题目．