Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=

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2

∠ACB，DE与AB相交于点F．
（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．

Answer 1

（1）猜想BE=

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2

FD，
证明：如图，延长CA、BE相交于G，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠EBA=

1

2

∠ACB，
∴∠EBA=22.5°，
∴∠GBC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠G=∠GBC，
∴CG=BC，
∵CE⊥BE，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，BE=

1

2

BG，
∴∠ACE=∠EBA．
在△ABG和△ACF中

∠GAB=∠FAC AB=AC ∠ABG=∠ACF

，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG=CF
∴BE=

1

2

FC，
即BE=

1

2

FD．

（2）成立，
理由是：过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H，
则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∴MB=MD，
∵∠EBA=

1

2

∠ACB，
∴∠EBA=

1

2

∠MDB=22.5°，
∴∠HBD=∠H=67.5°，
∴DB=DH，
∵DE⊥BE，
∴∠HDE=

1

2

∠HDB，BE=

1

2

BH，
∴∠HBM=∠FDM，
在△HMA和△FMD中

∠BMH=∠DMF MB=MD ∠HBM=∠FDM

∴△HMA≌△FMD（ASA）
∴BH=DF，
∴BE=

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2

FD．