【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点C(0,﹣2),顶点D的坐标为(1,﹣),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AC,E为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和的值.
(3)点C关于x轴的对称点为H,当FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QHF是直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)E(﹣,﹣);;
(3)(1,)或(1,)或Q(1,2)或Q(1,﹣).
【解析】
(1)将点C、D的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)当△AOC∽△AEB时,求出yE=-,由△AOC∽△AEB得:即可求解;
(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,当折线段BFG与BE重合时,CF+BF取得最小值,①当点Q为直角顶点时,由Rt△QHM∽Rt△FQM得:QM2=HMFM;②当点H为直角顶点时,点H(0,2),则点Q(1,2);③当点F为直角顶点时,同理可得:点Q(1,-).
(1)由题可列方程组:,解得:
∴抛物线解析式为:y=x2﹣x﹣2;
(2)由题意和勾股定理得,∠AOC=90°,AC=,AB=4,
设直线AC的解析式为:y=kx+b,则,
解得:,
∴直线
当△AOC∽△AEB时=()2=()2=,
∵S△AOC=1,
∴S△AEB=,
∴AB×|yE|=,AB=4,则yE=﹣,
则点E(﹣,﹣);
由△AOC∽△AEB得:
∴;
(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,
则FG=CFsin∠FCG=CF,
∴CF+BF=GF+BF≥BE,
当折线段BFG与BE重合时,取得最小值,
由(2)可知∠ABE=∠ACO
|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=,
∴当y=﹣时,即点F(0,﹣),CF+BF有最小值;
①当点Q为直角顶点时(如图3) F(0,﹣),
∵C(0,﹣2)
∴H(0,2)设Q(1,m),过点Q作QM⊥y轴于点M.
则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2=HMFM,
∴12=(2﹣m)(m+),
解得:m=,则点Q(1,)或(1,)
当点H为直角顶点时:点H(0,2),则点Q(1,2);当点F为直角顶点时:
同理可得:点Q(1,﹣);
综上,点Q的坐标为:(1,)或(1,)或Q(1,2)或Q(1,﹣).
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【题目】如图,已知将抛物线y=x2﹣1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”),它们分别是(1,0),(﹣1,0),(0,0),(0,1),(0,﹣1).现将抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)沿x轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a的取值范围是( )
A.﹣1<a<﹣B.a<﹣1C.a<﹣D.﹣1≤a<﹣
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y 的对应值如表所示:
给出下列说法:①抛物线与y轴的交点为(0,6); ②抛物线的对称轴是在y轴的右侧;③抛物线一定经过点(3,0); ④在对称轴左侧,y随x增大而减小.从表中可知,下列说法正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C1,平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】如图,抛物线的图象与坐标轴交于点A,B,D,顶点为E,以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点,连接EP.①点E在⊙M的内部;②CD的长为;③若P与C重合,则∠DPE=15°;④在P的运动过程中,若AP= ,则PE=⑤N是PE的中点,当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是2π.其中结论正确的是______________
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【题目】已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4.D是AB的中点,P是平面上的一点,且DP=1,连接BP、CP,将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′,连CB′,CB′的最大值是_____.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为6,∠BAC=60°,则DE=________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=2,A(0,a),B(b,0),点C在第二象限,BC与y轴交于点D(0,c),若y轴平分∠BAC,则点C的坐标不能表示为( )
A. (b+2a,2b) B. (﹣b﹣2c,2b)
C. (﹣b﹣c,﹣2a﹣2c) D. (a﹣c,﹣2a﹣2c)
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