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【题目】如图1,已知△ABC是等腰三角形,且∠ACB=90°,△ADB是等边三角形,点C在△ADB的内部,DE⊥AC交直线AC于点E.
(1)你能证明“DE=CE”吗?试一试;
(2)如图2,若点C在△ADB的外部时,即点D、E在AB两侧,上述结论是否还成立?说明理由.

【答案】
(1)证明:如图1,过F作DF⊥BC,交BC延长线于F,则∠BFD=90°,

∵△ABD是等边三角形,

∴∠DAB=∠DBA=60°,AD=BD,

∵△ABC是等腰三角形,且∠ACB=90°,

∴∠CAB=∠CBA=45°,

∴∠DAC=∠DBF=60°﹣45°=15°,

∵DE⊥AC,

∴∠AED=90°,

∴∠AED=∠BFD,

∴△ADE≌△BDF,

∴DF=DE,

∵∠BFD=∠AED=∠FCE=90°,

∴四边形DFCE是矩形,

∵DE=DF,

∴矩形DFCE是正方形,

∴DE=CE


(2)证明:如图2,过D作DF⊥BC,交CB的延长线于F,则∠F=90°,

∵△ABD是等边三角形,

∴AD=BD,∠DAB=∠DBA=60°,

同理∠CAB=∠CBA=45°,

∴∠EAD=∠DBF=180°﹣60°﹣45°=75°,

∵∠AED=∠BFD=90°,

∴△AED≌△BFD,

∴DE=DF,

同理得:四边形DFCE是正方形,

∴DE=CE.


【解析】(1)如图1,作垂线,构建全等三角形,证明△ADE≌△BDF,得DF=DE,再证矩形DFCE是正方形,从而得出结论:DE=CE;(2)如图2,同理证明△AED≌△BFD和四边形DFCE是正方形,得出结论.
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和等边三角形的性质,需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案.

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