Question

15．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED．

Answer 1

分析 根据已知结合相似三角形的判定与性质得出$\frac{EF}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，进而得出△DEF∽△BED．

解答 证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{DE}{BE}$，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出$\frac{EF}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$是解题关键．