Question

17．已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5．线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知AP=AQ，然后可证明△APQ为等边三角形，从而可求得PQ的长；
（2）先依据等边三角形的性质证明△APB≌△AQC，从而得到QC的长，然后依据勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形，故此可求得∠AQC的度数，从而得到∠APB的度数．

解答 解：（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=4．
（2）连接QC．

∵△ABC、△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC．
在△ABP和△ACQ中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ．
∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，
∵在△PQC中，PQ²+CQ²=PC²
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°
∴∠APB=∠AQC=60°+90°=150°．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，证得△PQC为直角三角形是解题的关键．