Question

【题目】如图，M，N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM＝CN，连结AC交DN于点P，连结AM交BP于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先证明点Q在以AB为直径的圆上运动，连接OC与 O交于点Q′，此时CQ′最小，根据勾股定理即可计算．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°

在△ABM和△DCN中，

，

∴△ABM≌△DCN，

∴∠BAM＝∠CDN，

在△CPB和△CPD中，

，

∴△CPD≌△CPB，

∴∠CDP＝∠CBP＝∠BAM，

∵∠CBP+∠ABP＝90°，

∴∠BAM+∠ABP＝90°，

∴∠AQB＝90°，

∴点Q在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于点Q′，此时CQ′最小，

∴CQ′＝OC﹣OQ′＝．

故答案为．