Question

已知直线y=-x-1与x、y轴分别交于A、B曰两点，将其向右平移4个单位所得直线分别与x、y轴交于C、D两点．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直线CD的解析式，再求出直线与坐标轴的交点坐标．
（2）已知A、C、D三点的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）应分AB为腰和AB为底两种情况进行讨论．
解答：解：（1）把直线y=-x-1向右平移四个单位长度所得的直线的解析式是：y=-（x-4）-1，
即y=-x+3，在各个函数中分别令x=0，y=0，
解得y=3和x=3，
因而交点坐标是：C（3，0）D（0，3）

（2）设解析式为y=ax²+bx+c
把A（-l，0）D（0，3）C（3，0）代入得：

解得：
∴过A、C、D三点的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（3）存在．∵y=x²+2x+3的对称轴为直线x=-，即x=1
当AB为腰时，易知点P坐标为（1，0）
当AB为底时，点P在AB垂直平分线y=x和x=1的交点处，此时点P的坐标为（1，1）
综上所述这样的点P有（1，0）和（1，1）两个．
点评：本题主要考查了函数平移是解析式的变化关系，以及待定系数法求函数的解析式．