Question

抛物线y=ax²+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点，C点是抛物线与y轴的交点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a、b的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再设点P的横坐标是m，表示出纵坐标，然后分①点P在点A、B之间，②点P在点A的左边，③点P在点B的右边三种情况，分别分两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出m的值，再代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点，
∴

16a+4a-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）存在．
令x=0，则y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2），
设点P的横坐标是m，
则点P的纵坐标为-

1

2

m²+

5

2

m-2，
①点P在点A、B之间时，1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
∵∠COA=∠PMA=90°，
∴当

AM

PM

=

AO

OC

=

4

2

时，△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
整理得，m²-6m+8=0，
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
此时，-

1

2

ײ+

5

2

×2-2=1，
∴点P（2，1）；
当

AM

PM

=

OC

AO

=

2

4

时，△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
整理得，m²-9m+20=0，
解得m₁=4，m₂=5，
都不合题意，舍去；
②点P在点A的左边时，m＜1，
类似地可求P（-3，-14）；
③点P在点B的右边时，m＞4，
类似地可求P（5，-2），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（-3，-14）或（5，-2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．