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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）2-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B精英家教网，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D．
    （1）写出点P的坐标；
    （2）连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
    （3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D除外）上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值．
    分析：（1）根据抛物线的顶点式解析式可得出P的坐标为（2，-1）．
    （2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根据P的纵坐标不难得出AB=2，根据对称轴x=2可得出A，B的坐标分别为（1，0）（3，0）．然后可根据A，B的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．也就能得出a的值和C点的坐标．
    求D点坐标时，可根据∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形来解．此时OB=OD，B点的横坐标的绝对值就是D点的纵坐标的绝对值，由此可得出D的坐标．
    （3）当旋转后A在C′D′上时，E点和O重合此时b=0；当旋转后A在B′D′上时，此时可求得OE=1，即b=-1．因此可分三种情况进行讨论：
    ①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是个三角形，如果设C′D′与AC交于M，那么重叠部分就是△CEM的面积．可先求出EM的长，然后再根据三角形的面积公式得出S，b的函数关系式．
    ②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是五边形，由于五边形不是规则的图形，因此可先根据AC，D′B′，AD的直线的解析式求出旋转后得出的三角形与ACD的各边的交点的坐标，然后根据其他规则图形的面积的“和，差”关系来求出五边形的面积，即可得出S，b的函数关系式．
    ③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为四边形，可仿照②的解法求出此时S，b的函数关系式．
    综上所述可得出b的不同取值范围内，S，b的函数关系式，然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值．
    解答：解：（1）P（2，-1）

    （2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）
    所以AB=2，
    所以A（1，0），B（3，0）
    将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）2-1得：
    0=a（1-2）2-1，
    所以a=1
    所以二次函数为：y=x2-4x+3
    所以C（0，3），
    所以OC=OB，∠OBC=45°
    又因为∠ABP=45°，
    所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
    所以△BCD为等腰直角三角形，
    所以D（0，-3）；

    （3）①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM．
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    因为CE=C’E，
    所以C点恰好在直线B′C′上，
    CE=3-b，AC直线方程为：y=3-3x，
    E（0，b）所以EM=
    3-b
    3

    所以重叠部分△CEM的面积为：
    S=
    1
    2
    ×（3-b）×
    3-b
    3
    =
    (3-b)2
    6
    （0≤b＜3）；
    精英家教网②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ，
    因为ED=ED′=EQ，
    所以D’点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
    所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
    CQ=3-（3+2b）=-2b，
    AC直线方程为：y=3-3x，
    AD直线方程为：y=3x-3，
    D’Q直线方程为：y=3+2b-x，
    所以EM=
    3+b
    3
    ，N（-b，3+3b）
    所以重叠部分五边形EMANQ的面积为：
    S=S△ACD-S△CQN-S△EMD
    =
    1
    2
    ×6×1-
    1
    2
    ×（-2b）×（-b）-
    1
    2
    ×（3+b）×
    3+b
    3

    =-
    7b2
    6
    -b+
    3
    2
    （-1＜b＜0）；
    ③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ；
    因为ED=ED’=EQ，
    所以D′点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
    所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
    DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
    AD直线方程为：y=3x-3，
    D′Q直线方程为：y=3+2b-x，
    所以EM=
    3+b
    3
    ，N（
    3+b
    2
    ，
    3(1+b)
    2
    ），
    所以重叠部分四边形EMNQ的面积为：
    S=S△DNQ-S△EMD=
    1
    2
    ×(6+2b)×
    3+b
    2
    -
    1
    2
    ×(3+b)×
    3+b
    3
    =
    (3+b)2
    3
    （-3＜b≤1），
    所以重叠部分的面积为：S=
    (3-b)2
    6
    (0≤b＜3)
    -
    7b2
    6
    -b+
    3
    2
    (-1＜b＜0)
    (3+b)2
    3
    (-3＜b≤-1)
    ，
    当0≤b＜3时，b=0时，S最大，且S最大=
    3
    2
    ，
    当-1＜b＜0时，S=-
    7b2
    6
    -b+
    3
    2
    =--
    7
    6
    (b+
    3
    7
    )2+
    12
    7
    ，
    b=-
    3
    7
    时，S最大，且S最大=
    12
    7
    ，
    当-3＜b≤-1时，b=-1时，S最大，且S最大=
    4
    3
    ，
    综上所述：当b=-
    3
    7
    时，S最大=
    12
    7
    ．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

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    ．

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    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

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