Question

16．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点E，EF∥BC，交AC于F，求证：AE=CF．

Answer 1

分析 首先过E作EN⊥AB，过F作FM⊥BC，根据角平分线的性质可得EN=ED，再证明ED=FM，进而可得EN=FM，然后再证明∠C=∠1，利用AAS定理证明△ANE≌△CMF，根据全等三角形的性质可得AE=FC．

解答 证明：过E作EN⊥AB，过F作FM⊥BC，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∴EN=ED，
∵AD是高，FM⊥BC，
∴FM∥ED，∠C+∠2=90°，
∵EF∥DM，
∴四边形EDMF是平行四边形，
∴ED=FM，
∴EN=FM，
∵，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠C，
在△ANE和△CMF中$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠C}\\{∠ANE=∠FMC=90°}\\{EN=MF}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△CMF（AAS），
∴AE=FC．

点评 此题主要考查了全等三角形的性质和判定，关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形．