Question

4．已知点A（3，4），点B（-1，1），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），且EF=1，线段EF在x上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

Answer 1

分析 欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．

解答 解：如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线A′B′的解析式为y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
当y=0时，$\frac{5}{3}$x+$\frac{2}{3}$=0，解得x=-$\frac{2}{5}$．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-$\frac{2}{5}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．