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3.如图,点B在AM上,点D在AN上,且AB=AD,BC=CD,CE⊥AM于E,CF⊥AN于F.求证:BE=DF.

分析 连接AC,利用“边边边”证明△ABC和△ADC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAC,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF,然后利用“HL”证明Rt△BCE和Rt△DCF全等,最后根据全等三角形对应边相等证明即可.

解答 证明:如图,连接AC,
在△ABC和△ADC中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∵CE⊥AM,CF⊥AN,
∴CE=CF,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),
∴BE=DF.

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等性质,全等三角形的判定与性质,难点在于作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等.

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