Question

14．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直线y=x+1与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合），点P的横坐标是m，当△PAD与△CAD的面积相等时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在动点P（不与点C重合），使得∠PAD=∠CAD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A点和C点代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、即可得到抛物线的解析式；
（2）直线AD交y轴于M，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得到D（3，4），再求出M（0，1），过点C作直线平行于AD，则此直线的解析式为y=x+4，接着解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$得P点坐标为（2，6）；把直线y=x+4向下平移6个单位得到直线y=x-2，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得此时P点坐标为（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$）；
（3）直线AP交y轴于N，如图2，设N（0，t），利用两点间的距离公式得到AC=$\sqrt{17}$，AN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，再利用平行线的性质定理得到$\frac{MC}{MN}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{3}{1-t}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，解方程得t₁=4（舍去），t₂=$\frac{1}{4}$，则N（0，$\frac{1}{4}$），于是利用待定系数法求出直线AN的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得此时P点坐标．

解答 解：（1）把点A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；

（2）直线AD交y轴于M，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，则D（3，4），
当x=0时，y=x+1=1，则M（0，1），
过点C作直线平行于AD，则此直线的解析式为y=x+4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，则此时P点坐标为（2，6）；
把直线y=x+4向下平移6个单位得到直线y=x-2，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{7}}\\{y=-1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}}\\{y=-1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$，此时P点坐标为（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，6）或（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）或（1+$\sqrt{7}$，-1+$\sqrt{7}$）；

（3）存在．
直线AP交y轴于N，如图2，设N（0，t），
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，AN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
因为∠PAD=∠CAD，
即AD平分∠CAP，
所以$\frac{MC}{MN}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{3}{1-t}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
整理得4t²-17t+4=0，解得t₁=4（舍去），t₂=$\frac{1}{4}$，则N（0，$\frac{1}{4}$）
设直线AN的解析式为y=kx+m，
把A（-1，0），N（0，$\frac{1}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+m=0}\\{m=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{m=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以直线AN的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=\frac{19}{16}}\end{array}\right.$，
所以此时P点坐标为（$\frac{15}{4}$，$\frac{19}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．