Question

16．阅读学习
计算：$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×2}$+$\frac{\sqrt{5}-2}{2×\sqrt{5}}$．
可以用下面的方法解决上面的问题：
$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×2}$+$\frac{\sqrt{5}-2}{2×\sqrt{5}}$
=（$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）+（$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$）+（$\frac{2}{\sqrt{3}×2}$-$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×2}$）+（$\frac{\sqrt{5}}{2×\sqrt{5}}$-$\frac{2}{\sqrt{5}×2}$）
=（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{5}}$）
=1-$\frac{1}{\sqrt{5}}$=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
利用上面的方法解决问题：
（1）计算$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×2}$+$\frac{\sqrt{5}-2}{2×\sqrt{5}}$+…+$\frac{10-\sqrt{99}}{\sqrt{99}×10}$．
（2）当n=1时，等式$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$+$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$+$\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+2}\sqrt{n+3}}$=$\frac{1}{\sqrt{n+3}}$成立．

Answer 1

分析 （1）根据题意首先化简二次根式，进而得出答案；
（2）首先化简二次根式进而得出关于n的等式求出答案．

解答 解：（1）原式=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$+…+$\frac{10}{\sqrt{99}×10}$-$\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{99}×10}$
=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$；

（2）∵$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$+$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$+$\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+2}\sqrt{n+3}}$=$\frac{1}{\sqrt{n+3}}$
∴$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+2}}$+$\frac{1}{\sqrt{n+2}}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{\sqrt{n+3}}$，
则$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n+3}}$，
解得：n=1．
故答案为：1．

点评 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．