【题目】已知二次函数.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),
∴代入得:,解得:m=±1。
∴二次函数的解析式为:或。
(2)∵m=2,∴二次函数为:。
∴抛物线的顶点为:D(2,-1)。
当x=0时,y=3,
∴C点坐标为:(0,3)。
(3)存在,当P、C、D共线时PC+PD最短。
过点D作DE⊥y轴于点E,
∵PO∥DE,∴△COP∽△CED。
∴,即,解得:
∴PC+PD最短时,P点的坐标为:P(,0)。
【解析】
试题(1)根据二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),直接代入求出m的值即可。
(2)把m=2,代入求出二次函数解析式,利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可。
(3)根据两点之间线段最短的性质,当P、C、D共线时PC+PD最短,利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案。
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC,连接AF、BE.
(1)求证:四边形ABEF是平行四边形;
(2)当∠ABC为多少度时,四边形ABEF为矩形?请说明理由.
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【题目】某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m .设饲养室为长为x(m),占地面积为 .
(1)如图 ,问饲养室为长x为多少时,占地面积y 最大?
(2)如图,现要求在图中所示位置留2m的门,且仍使饲养室占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
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【题目】两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC 不动,将△DEF 进行如下操作:
(1)如图,△DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动),连接 DC、CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积.
(2)如图,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形CDBF 的形状,并说明理由.
(3)如图,△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF,使 DF 落在 AB 边上,此时 F 点恰好与 B 点重合,连接 AE,请你求出 sinα的值.
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【题目】如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
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【题目】满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()
A. BC=1,AC=2,AB=
B. BC=1,AC=2,AB=
C. BC:AC:AB=3:4:5
D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并判断S取得最大值时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
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