Question

【题目】如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．过点F作FN垂直于BA的延长线于点N．

（1）求∠EAF的度数；

（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．猜想BD，AF，DM三条线段的等量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）∠EAF=135°；（2）BD= AF+2DM，证明见解析

【解析】

（1）证明△EBC≌△FNE，根据全等三角形的对应边相等和正方形的临边相等可证明NA=NF，由此可证△NAF为等腰直角三角形，可求得∠EAF；

（2）过点F作FG∥AB交BD于点G，证明四边形ABGF为平行四边形和△FGM≌△CDM，即可证得结论．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，FN垂直于BA的延长线于点N，

∴∠B=∠N=∠CEF=90°，BC=AB=CD，

∴∠NEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，

∴∠NEF=∠ECB，

∵EC=EF，

∴△EBC≌△FNE，

∴FN=BE, EN=BC ,

∴EN=AB，

∴EN﹣AE=AB﹣AE

∴AN=BE，

∴FN=AN，

∵FN⊥AB，

∴∠NAF=45°，

∴∠EAF=135°．

（2）三条线段的等量关系是BD=AF+2DM．

证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．

由（1）可知∠EAF=135°，

∵∠ABD=45°

∴∠EAF=135°+∠ABD=180°，

∴AF∥BG，

∵FG∥AB，

∴四边形ABGF为平行四边形，

∴AF=BG，FG=AB，

∵AB=CD，

∴FG=CD，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠FGM=∠CDM，

∵∠FMG=∠CMD

∴△FGM≌△CDM，

∴GM=DM，

∴DG=2DM，

∴BD=BG+DG=AF+2DM．